Studio semplice di una funzione omografica

Studio semplice di una funzione omografica

       a x + b
y = ———–  , c≠o
       c x + d

     2 x – 1
y = ———–
    -x + 3

- Dominio:  {x ∈  / -x + 3 ≠ 0,  x≠ 3}

- Intersezioni con assi:
con asse x
      2 x – 1
y = ———– ,        y = 0      per  x = 1/2 ,     y=0    
     -x + 3
La funzione passa per il punto A (1/2,0)

con asse y
       2 x – 1
y = ———– ,       x = 0
      -x + 3

x = 0 , y = – 1/3

La funzione passa per il punto B (0, -1/3)

- Asintoti: x=-d/c        x=3 asintoto verticale,
                        y=a/c
          y=-2 asintoto orizzontale

- Segno della funzione
       2 x – 1
y = ———– 

      -x + 3

y > 0     N>0      x >1/2 ,  
              D>0      -x + 3 >0      -x>-3     x<3

N——————1/2++++++++++++++

D++++++++++++++++++++++3———

Si ha:
per x<1/2       y < 0
per x = 1/2     y = 0
per 1/2<x<3   y>0
per x=3 non esiste
per x>3           y<0

Si può poi fare una tabella per trovare le coordinate di qualche punto e tutte le informazioni vanno riportate nel piano cartesiano.


funzione omografica

Se si studia la funzione con conoscenze superiori di Analisi Matematica, vanno calcolati limiti e derivata.


mtb

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15 thoughts on “Studio semplice di una funzione omografica

  1. Per Marta:
    devi trovare le coordinate di qualche punto; per esempio, se ad x assegni il valore 4, per y ottieni -7. Hai quindi il punto (4,-7). Inoltre, una volta che hai disegnato un ramo, l’altro lo puoi ottenere per simmetria rispetto al punto di intersezione tra gli asintoti che in questo caso è il punto C(3,-2).

  2. per Veronica e Andrea
    un metodo è questo:
    una volta trovato il punto di intersezione con un asse, per esempio con l’asse x, A(1/2,0), si scrive l’equazione del fascio di rette per quel punto che è:
    y = mx – m/2.

    Tale equazione si mette a sistema con l’equazione dell’iperbole e si ricava l’equazione di secondo grado in x risolvente il sistema. Poichè la retta deve essere tangente le soluzioni di tale equazione devono essere reali e coincidenti, e per questo motivo si impone che il delta sia uguale a zero.
    Risolvendo si ottiene:
    Delta=0
    25m2-40m+16=0 che dà per soluzione m=4/5.
    Si sostituisce m nell’equazione del fascio e si ha:
    y=(4/5)x – 4/10.

    tangente iperbole

    Con lo studio delle derivate si può calcolare la derivata prima della funzione in x=1/2 ed ottenere m.

    f'(x)= 5 /( (x – 3)2)
    m= f'(1/2) = 4/5

  3. Cosa succede al grafico della funzione se procediamo con il reciproco della funzione omografica di partenza? E come determinare dove una funzione omografica è crescente o decrescente?

  4. per Paola
    1) dove f(x)=0, la g(x)=1/f(x) non esiste, quindi l’asintoto verticale di g(x), per questo esempio sarà x=1/2
    2) dove f(x) non esiste, g(x) ha un punto di intersezione con l’asse x. In questo caso g(x) passerà per (3,0)
    3) il punto di intersezione con l’asse y che in f(x)è B(0, h) sarà, per g(x), (0,1/h)
    4) L’asintoto orizzontale di f(x) è y=k (2/-1) e per g(x) sarà y=1/k (-1/2)
    5) dove f(x) era crescente, la g(x) sarà decrescente (tenendo conto comunque dei domini f(x)e di g(x))

  5. @katia: usando la derivata prima della funzione.

            ad – bc
    f'(x) = ———–
            (cx + d)2

    Quindi
    se ad – bc>0 la funzione è crescente, se ad – bc<0 è decrescente.

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