Studio di funzione RAZIONALE FRATTA

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF) 

      2x2 + 1
y= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
       x3

f4 Osservare analogie e differenze con la precedente funzione

        2x2 – 1
y= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
       x3

Maria Teresa Bianchi © 2011

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA

     4x
y = ————-
       (x+4)2 

funzione razionale fratta

   Studio di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF)

      ax
y = ————-
        (x+a)2

Studio generale di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF) 

Maria Teresa Bianchi ©2011

Piccolo problema:E’ più grande il doppio di un numero o il suo quadrato?

E’ più grande il doppio di un numero o il suo quadrato?

Per rispondere possiamo modellizzare il problema con due funzioni che, assegnato x (il numero), ci restituiscono come valore ( y ), il doppio del numero (2x) e il suo quadrato ().

#1:        y = 2x
#2:        y = x²

Costruiamo il grafico delle due funzioni: la prima è una retta crescente passante per l’origine O, la seconda è una parabola con vertice nell’origine degli assi e concavità verso l’alto.

doppio e quadrato

Osservando i grafici ottenuti, dal confronto dei valori di y ottenuti al variare di x nelle due funzioni, possiamo subito rispondere alla domanda posta:

  • se x<0  il quadrato è maggiore del doppio (lo si può capire anche pensando al segno che assumono entrambi: il doppio rimane negativo come il numero, mentre il quadrato genera un numero positivo)
  • se x=0 il doppio e il quadrato sono uguali  (entrambi uguali a 0 – punto O)
  • se 0<x<2  il doppio è maggiore del quadrato (il segmento di retta OA si trova “al di sopra ” dell’arco di parabola OA)
  • se x=2 il doppio e il quadrato sono uguali  (entrambi uguali a 4 – punto A)
  • se x>2 il doppio è minore del quadrato  (l’arco di parabola che inizia dal punto A si trova “al di sopra” della semiretta di origine A)

—————-

Puoi prelevare il  File in formato PdF

Le funzioni: uno sguardo a tutto tondo

FUNZIONI
Le funzioni: uno sguardo a tutto tondo
Colloquio con Lucilla Cannizzaro* a cura di Walter Maraschini**

 da TRECCANI-scuola

*Professore associato di Matematiche Complementari presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Roma ‘La Sapienza’
**Docente di Matematica e Fisica presso l’Istituto ‘Machiavelli’ di Roma. Autore di libri di testo per la scuola superiore (www.maraschini.it)

Studio della cubica

La funzione è razionale intera ed è espressa in forma normale da:

 y = ax³ + bx² + cx + d

I coefficienti del polinomio di 3° grado a secondo membro (a, b, c, d) sono numeri razionali.

Se a≠0                                        
si ha una cubica
Se a=0 e b≠0                             
si ha una parabola
Se a=0 e b=0 e c ≠0                
si ha una   retta non parallela all’asse x
Se a=0 e b=0 e c=0 e d≠0      
si ha una funzione costante (retta parallela all’asse x)
Se a=0 e b=0 e c=0 e d=0      
si ha   l’ asse x

Download  dello studio della cubica.

Ho utilizzato  Derive; il file è apribile in formato pdf.

Simmetria centrale

Nell’ articolo del blog  : . TRASFORMAZIONI LINEARI . : , era stata trattata la simmetria centrale.
SIMMETRIA CENTRALE DI CENTRO  C

Si chiama SIMMETRIA CENTRALE di centro C  quella corrispondenza biunivoca di punti del piano che, ad ogni punto P  del piano, associa  un punto P’ tale che il segmento PP’ abbia come centro C  ( cioè C è il punto medio di PP’ ).
Due punti simmetrici si dicono CORRISPONDENTI NELLA SIMMETRIA centrale.

Per trovare le leggi analitiche di una simmetria centrale  si utilizza la definizione:
assegnati due punti  P(x, y) e P'(x’,y’), tenendo conto che C(a,b) deve essere il punto medio di PP’ si ha:

x’ = 2a – x
y’ = 2b – y

Esempio:  I punti P( 7, 4) e  P'( 1,2 ) sono corrispondenti nella simmetria centrale di centro  C( 4, 3 ).
Infatti si ha 1 = 2·4 – 7 e 2 = 2·3 – 4

Vediamo, ora, come si dimostra che una funzione y=f(x) gode di simmetria centrale rispetto ad un punto.

Nel caso che P e P’ siano appartenenti ad una funzione y=f(x) si avrà:
P( x, f(x) ) e P’ (x’, f(x’) ).

Trasformando la relazione precedente
y’= 2b – y
otterremo 
f( x’ )= 2b – f(x)  e, sostituendo ad x’  l’espressione 2a -x, si ha
f( 2a – x )= 2b – f(x) 

da cui  

f(x) = 2b – f( 2a – x )

Tale verifica su f(x) ci permetterà di affermare che la funzione è simmetrica rispetto al punto C(a,b).

Riferimenti: : . LE SIMMETRIE ASSIALI . :  –  : . funzioni esponenziali e logaritmiche . :

Asintoti non lineari

Una funzione può essere asintotica, all’ ∞, non necessariamente ad una retta, ma anche ad un’altra funzione.

Consideriamo la funzione razionale fratta:
       x3 + 1
y = ———–
             x

Tale funzione può essere anche scritta così:

                       1
y =  x2   +  —-
                       x

La differenza tra la funzione e la parabola y =  x2  è    1/x  e,  per x tendente ad infinito, tale quantità  tende a zero.

Si ha allora un grafico di questo tipo:

Grafico Asintoto Parabolico

Ricerca di asintoti

 Data una funzione y = f (x) , si possono avere tre tipi di asintoti:

  • asintoto verticale: quando x tende ad un valore finito la funzione tende all’ infinito
    • in questo caso la retta è parallela all’asse y ed ha equazione x = c, dove c è il valore al quale tende x
      • si ha quindi asintoto verticale se:
        lim f(x) =
        x ->c
  • asintoto orizzontale: quando x tende ad infinito e la funzione tende ad un valore finito

    • in questo caso la retta è parallela all’asse x ed ha equazione y = k , dove c è il valore al quale tende x
      • si ha quindi asintoto orizzontale se:
        lim f(x) = k
        x ->∞

      • si ha quindi asintoto orizzontale se:
        lim f(x) = k
        x ->∞ 


     
  • asintoto obliquo: quando x tende ad infinito e la funzione tende ad  infinito "avvicinandosi" indefinitamente ad una retta di equazione y =mx + q
    • in questo caso la condizione necessaria per avere l’asintoto obliquo è lim f(x) = ∞
                                                                                                         
      x ->∞
    • si devono poi determinare gli eventuali  valori di m e q; per determinarli devono esistere ed essere finiti i seguenti limiti:

m = lim f(x)/ x      q = lim [ f(x) -mx]     entrambi per x tendente ad infinito