2 x – 1
y = ——–
         x² 
     

Consiglio di rivedere Funzioni razionali fratte (Power Point – zip)

La funzione è razionale intera ed è espressa in forma normale da:

 y = ax³ + bx² + cx + d

I coefficienti del polinomio di 3° grado a secondo membro (a, b, c, d) sono numeri razionali.

Se a≠0                                        
si ha una cubica
Se a=0 e b≠0                             
si ha una parabola
Se a=0 e b=0 e c ≠0                
si ha una   retta non parallela all’asse x
Se a=0 e b=0 e c=0 e d≠0      
si ha una funzione costante (retta parallela all’asse x)
Se a=0 e b=0 e c=0 e d=0      
si ha   l’ asse x

Download  dello studio della cubica.

Ho utilizzato  Derive; il file è apribile in formato pdf.

Nell’ articolo del blog  : . TRASFORMAZIONI LINEARI . : , era stata trattata la simmetria centrale.
SIMMETRIA CENTRALE DI CENTRO  C

Si chiama SIMMETRIA CENTRALE di centro C  quella corrispondenza biunivoca di punti del piano che, ad ogni punto P  del piano, associa  un punto P’ tale che il segmento PP’ abbia come centro C  ( cioè C è il punto medio di PP’ ).
Due punti simmetrici si dicono CORRISPONDENTI NELLA SIMMETRIA centrale.

Per trovare le leggi analitiche di una simmetria centrale  si utilizza la definizione:
assegnati due punti  P(x, y) e P'(x’,y’), tenendo conto che C(a,b) deve essere il punto medio di PP’ si ha:

x’ = 2a – x
y’ = 2b – y

Esempio:  I punti P( 7, 4) e  P'( 1,2 ) sono corrispondenti nella simmetria centrale di centro  C( 4, 3 ).
Infatti si ha 1 = 2·4 – 7 e 2 = 2·3 – 4

Vediamo, ora, come si dimostra che una funzione y=f(x) gode di simmetria centrale rispetto ad un punto.

Nel caso che P e P’ siano appartenenti ad una funzione y=f(x) si avrà:
P( x, f(x) ) e P’ (x’, f(x’) ).

Trasformando la relazione precedente
y’= 2b – y
otterremo 
f( x’ )= 2b – f(x)  e, sostituendo ad x’  l’espressione 2a -x, si ha
f( 2a – x )= 2b – f(x) 

da cui  

f(x) = 2b – f( 2a – x )

Tale verifica su f(x) ci permetterà di affermare che la funzione è simmetrica rispetto al punto C(a,b).

Riferimenti: : . LE SIMMETRIE ASSIALI . :  –  : . funzioni esponenziali e logaritmiche . : –

Studiamo la funzione:          
             x ³ – x  
f(x) = ———
           2x ² – 2

• funzione razionale fratta con dominio D ={ x Î R / x ≠ ±1 }
• la funzione può essere scritta:   
        x(x²– 1)                                     x
  y = ————     da cui si ottiene   y = —
        2(x²– 1)                                      2
• Tale funzione rappresenta una retta che "subisce due interruzioni" in corrispondenza dei valori ±1.
• I limiti, per x —>-1 e  per x —>+1, esistono e sono finiti, ma non esistono i valori f(-1) e f(1) poichè x=±1 non appartengono al dominio di f.  La funzione presenta quindi due discontinuità dello stesso tipo (eliminabili)
• grafico:

Questo esempio è simile a quello dell’articolo Discontinuità di una funzione

Provare ora a studiare la funzione:

              1             2x ² – 2
g(x) = ——  =  ———-  
            f(x)          x ³ – x