Simmetria centrale

Nell’ articolo del blog  : . TRASFORMAZIONI LINEARI . : , era stata trattata la simmetria centrale.
SIMMETRIA CENTRALE DI CENTRO  C

Si chiama SIMMETRIA CENTRALE di centro C  quella corrispondenza biunivoca di punti del piano che, ad ogni punto P  del piano, associa  un punto P’ tale che il segmento PP’ abbia come centro C  ( cioè C è il punto medio di PP’ ).
Due punti simmetrici si dicono CORRISPONDENTI NELLA SIMMETRIA centrale.

Per trovare le leggi analitiche di una simmetria centrale  si utilizza la definizione:
assegnati due punti  P(x, y) e P'(x’,y’), tenendo conto che C(a,b) deve essere il punto medio di PP’ si ha:

x’ = 2a – x
y’ = 2b – y

Esempio:  I punti P( 7, 4) e  P'( 1,2 ) sono corrispondenti nella simmetria centrale di centro  C( 4, 3 ).
Infatti si ha 1 = 2·4 – 7 e 2 = 2·3 – 4

Vediamo, ora, come si dimostra che una funzione y=f(x) gode di simmetria centrale rispetto ad un punto.

Nel caso che P e P’ siano appartenenti ad una funzione y=f(x) si avrà:
P( x, f(x) ) e P’ (x’, f(x’) ).

Trasformando la relazione precedente
y’= 2b – y
otterremo 
f( x’ )= 2b – f(x)  e, sostituendo ad x’  l’espressione 2a -x, si ha
f( 2a – x )= 2b – f(x) 

da cui  

f(x) = 2b – f( 2a – x )

Tale verifica su f(x) ci permetterà di affermare che la funzione è simmetrica rispetto al punto C(a,b).

Riferimenti: : . LE SIMMETRIE ASSIALI . :  –  : . funzioni esponenziali e logaritmiche . : –