Quesito 3 degli esami 2006 del Liceo Scientifico

Un foglio di carta deve contenere: un’area di stampa di 50 cm2, margini superiore ed inferiore di 4 cm e margini laterali di 2 cm. Quali sono le dimensioni del foglio di carta di area minima che si puo’ utilizzare?

rettangolo

Chiamando x e y le dimensioni del rettangolo esterno, l’area del rettangolo interno sarà data da:

 

(x – 8)·(y – 4) = 50

 

x > 8

 

y > 4

 

e, ricavando y in funzione di x, si ha:

 

                                 2·(2·x + 9)

                            y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                                    x – 8    

 

L’area del rettangolo esterno sarà data da:

 

area(x, y) ≔ x·y

 

                                      2·x·(2·x + 9)

                     area(x) ≔ x·y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                                          x – 8     

 

Questa è la funzione che esprime l’area del foglio che deve essere minima:

 

                                2·x·(2·x + 9)

                           y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                                    x – 8     

 

Calcolando la derivata prima e ponendola uguale a 0 si ottengono i valori degli eventuali massimi e/o minimi relativi.

Si può osservare che la funzione è razionale fratta del tipo: polinomio di secondo grado fratto polinomio di primo grado e irriducibile.

E’ una funzione standard il cui studio generale si trova nei link a destra.

 

d   2·x·(2·x + 9)

⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

dx      x – 8     

 

                                 2              

                             4·(x  – 16·x – 36)

                            ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0

                                         2      

                                  (x – 8)       

 

                             x = 18 ∨ x = -2

 

Il valore negativo non è accettabile per il problema proposto.

Nel punto che si ottiene per x=18 si ha un minimo relativo.

L’area minima è 162.

Il valore dell’altra dimensione è 9.

 

                               2·18·(2·18 + 9)

                          y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                                    18 – 8     

 

                                 y = 162                        

 

punto di minimo [18, 162]

grafico della funzione area

Il rettangolo è stato disegnato con GeoGebra; tutto il resto è stato fatto con Derive.

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3 thoughts on “Quesito 3 degli esami 2006 del Liceo Scientifico

  1. Da Paolo:

    mi pare che la tua soluzione vada bene e mi piace molto anche l’aspetto grafico.

    Grazie inoltre per le preziose consulenze per la compilazione del verbale!!!

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