LE SIMMETRIE ASSIALI

 

Si definisce simmetria assiale di asse s una trasformazione del piano in sè (una corrispondenza biunivoca) che associa ad ogni punto P un punto P’, tale che il segmento PP’ sia perpendicolare alla retta r e il suo punto medio M stia su s (cioè la retta s è asse del segmento PP’).

Ricaviamo ora le equazioni di alcune simmetrie assiali nel piano cartesiano Oxy

SIMMETRIA RISPETTO ALL’ASSE Y di equazione x = 0

Chiamando ( x, y) le coordinate di P e (u, v) le coordinate di P’ si avrà:

u = -x
v = y

http://www.dokeos.com/campus/dokeos/CLa30b/work/415ede292c558assy.jpg

SIMMETRIA RISPETTO ALL’ASSE X di equazione y = 0

Chiamando ( x, y) le coordinate di P e (u, v) le coordinate di P’ si avrà:

u = x
v = -y

http://www.dokeos.com/campus/dokeos/CLa30b/work/415edf0933abeassx.jpg

 

Se consideriamo una relazione nel piano cartesiano di equazione R(x,y) = 0, essa è simmetrica rispetto all’asse x se si ha:

R(x,y) = R(x,-y)

Se la relazione è una funzione di equazione y = f(x), essa NON PU0′ essere simmetrica rispetto all’asse x perchè ad un valore di x corrispondono due valori distinti di y, in contraddizione con la definizione stessa di funzione.

 


 

Ci poniamo ora questo problema: assegnata una funzione y = f(x) "costruire" sia algebricamente che graficamente, la funzione y = t(x), simmetrica di f(x) rispetto all’asse y e y = g(x), simmetrica di f(x) rispetto all’asse x.

y = t(x) simmetrica di f(x) rispetto all’asse y

Dalle definizioni precedenti di simmetria rispetto all’asse x si deduce che t(x) = f(-x)

http://www.dokeos.com/campus/dokeos/CLa30b/work/41600476d9ac8simmy.bmp

y = g(x) simmetrica di f(x) rispetto all’asse x

Dalle definizioni precedenti di simmetria rispetto all’asse x si deduce che g(x) = – f(x)

http://www.dokeos.com/campus/dokeos/CLa30b/work/416001df44bfasimmx.bmp

Si può osservare che il punto di f(x) appartenente anche all’asse di simmetria (asse x) risulta appartenenente anche alla funzione g(x) (punti uniti o invarianti).

OSSERVAZIONI e CONCLUSIONI:

  • data una funzione essa non può essere simmetrica rispetto all’asse x, ma si può trovare un’altra funzione che sia la sua simmetrica rispetto all’asse x
  • data una funzione essa può :
    essere simmetrica rispetto all’asse y (funzione PARI) e, in questo caso, la "sua" simmetrica rispetto all’asse y è "se stessa"
    – non essere simmetrica rispetto all’asse y, ma si può trovare un’altra funzione che sia la sua simmetrica rispetto all’asse y

     

     

  • Al via gli Esami di Stato!

    Buongiorno ragazzi! Mercoledì inizieranno gli Esami di Stato: in bocca al lupo!

    Propongo alcuni link per rivedere problemi e non solo di Matematica:

    l’esame di maturità
    Temi svolti esame di maturità scientifica

    dal sito http://www.matematicamente.it

    e inoltre http://xoomer.virgilio.it/etlimoli/lezioni.htm

    dal sito personale del prof. Ettore Limoli

    Maria Gaetana Agnesi

    Il 16 maggio 1718 nacque a Milano

    Maria Gaetana Agnesi, matematica italiana che pubblicò nel 1748 un trattato di analisi dal titolo “Istituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana“.

     

    L’Agnesi ha legato il suo nome alla versiera, una curva che però non fu scoperta da lei, ma da Guido Grandi. Grandi l’aveva chiamata curva con seno verso (sinus versus) cioè inverso del seno ma pure contrario, nemico. Da qui, versiera, “avversaria”, nome solitamente attribuito alle streghe. In inglese la curva è nota come witch of Agnesi (strega di Agnesi).

    Nel 2003 la versiera di M.Gaetana Agnesi è stata oggetto di uno dei problemi degli Esami di Stato per il Liceo Scientifico.

    PROBLEMA 1

    Nel piano sono dati: il cerchio g di diametro OA = a, la retta t tangente a g in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g, il punto C intersezione di r con t. La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s’ intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo geometrico G noto con il nome di versiera di Agnesi [da Maria Gaetana Agnesi, matematica milanese, (1718-1799)].

    1. Si provi che valgono le seguenti proporzioni: OD : DB = OA : DP, OC : DP = DP : BC, ove D è la proiezione ortogonale di B su OA;

    2. Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche Oxy, l’equazione cartesiana di G è: y = a³/ (x²+a²)

    3. Si tracci il grafico di G e si provi che l’area compresa fra G e il suo asintoto è quattro volte quella del cerchio g.

     

    Nel box a destra MATERIALI DIDATTICI ci sono la costruzione geometrica della versiera con Cabri e la versiera studiata con Derive.(prima salva e poi apri)

     

    grafico della versiera
    mtb