Studio della cubica

La funzione è razionale intera ed è espressa in forma normale da:

 y = ax³ + bx² + cx + d

I coefficienti del polinomio di 3° grado a secondo membro (a, b, c, d) sono numeri razionali.

Se a≠0                                        
si ha una cubica
Se a=0 e b≠0                             
si ha una parabola
Se a=0 e b=0 e c ≠0                
si ha una   retta non parallela all’asse x
Se a=0 e b=0 e c=0 e d≠0      
si ha una funzione costante (retta parallela all’asse x)
Se a=0 e b=0 e c=0 e d=0      
si ha   l’ asse x

Download  dello studio della cubica.

Ho utilizzato  Derive; il file è apribile in formato pdf.

Dedicato ai miei alunni di quinta

Vola solo chi osa farlo

“Vola!” miagolò Zorba (è il gatto che ha covato l’uovo da cui è nata la gabbianella e che l’ha allevata) allungando una zampa e toccandola appena.

L. Sepùlveda, Storia di una gabbianella e del gatto che le insegnò a volare, Salani, Firenze, 1996
L’immagine è tratta da  STORIA DI UNA GABBIANELLA E DI UN GATTO
Ascolta la musica: http://www.geocities.com/Paris/4469/images/gatti.mp3

Fortunata scomparve alla vista, e l’umano e i gatto temettero il peggio. Era caduta giù come un asso. Col fiato sospeso si affacciarono alla balaustra, e allora la videro che batteva le ali sorvolando il parcheggio, e poi seguirono il suo volo in alto, molto più in alto della banderuola dorata che corona la singolare bellezza di San Michele.

Fortunata volava solitaria nella notte amburghese. Si allontanava battendo le ali con energia fino a sorvolare le gru del porto, gli alberi delle barche, e subito dopo tornava indietro planando, girando più volte attorno al campanile della chiesa.

Volo! Zorba! So volare!” strideva euforica dal vasto cielo grigio.

L’umano accarezzò il dorso del gatto.

“Bene, gatto. Ci siamo riusciti” disse sospirando.

“Sì, sull’orlo del baratro ha capito la cosa più importante” miagolò Zorba.

“Ah sì? E che cosa ha capito?” chiese l’umano.

Che vola solo chi osa farlo” miagolò Zorba.

“Immagino che adesso tu preferisca rimanere solo. Ti aspetto giù” lo salutò l’umano.

Zorba rimase a contemplarla finché non seppe se erano gocce di pioggia o lacrime ad annebbiare i suoi occhi gialli di gatto nero grande e grosso, di gatto buono; di gatto nobile; di gatto del porto.

Film di animazione – Regia: ENZO D’ALO’

Simmetria centrale

Nell’ articolo del blog  : . TRASFORMAZIONI LINEARI . : , era stata trattata la simmetria centrale.
SIMMETRIA CENTRALE DI CENTRO  C

Si chiama SIMMETRIA CENTRALE di centro C  quella corrispondenza biunivoca di punti del piano che, ad ogni punto P  del piano, associa  un punto P’ tale che il segmento PP’ abbia come centro C  ( cioè C è il punto medio di PP’ ).
Due punti simmetrici si dicono CORRISPONDENTI NELLA SIMMETRIA centrale.

Per trovare le leggi analitiche di una simmetria centrale  si utilizza la definizione:
assegnati due punti  P(x, y) e P'(x’,y’), tenendo conto che C(a,b) deve essere il punto medio di PP’ si ha:

x’ = 2a – x
y’ = 2b – y

Esempio:  I punti P( 7, 4) e  P'( 1,2 ) sono corrispondenti nella simmetria centrale di centro  C( 4, 3 ).
Infatti si ha 1 = 2·4 – 7 e 2 = 2·3 – 4

Vediamo, ora, come si dimostra che una funzione y=f(x) gode di simmetria centrale rispetto ad un punto.

Nel caso che P e P’ siano appartenenti ad una funzione y=f(x) si avrà:
P( x, f(x) ) e P’ (x’, f(x’) ).

Trasformando la relazione precedente
y’= 2b – y
otterremo 
f( x’ )= 2b – f(x)  e, sostituendo ad x’  l’espressione 2a -x, si ha
f( 2a – x )= 2b – f(x) 

da cui  

f(x) = 2b – f( 2a – x )

Tale verifica su f(x) ci permetterà di affermare che la funzione è simmetrica rispetto al punto C(a,b).

Riferimenti: : . LE SIMMETRIE ASSIALI . :  –  : . funzioni esponenziali e logaritmiche . :

Gli asintoti

Asintoto  dal greco asymtotos
composto  da  a   negativo e dall’aggettivo verbale di   sympipto "io coincido".

Per una curva che si estende all’infinito, retta cui la curva data si avvicina quanto si vuole, allorchè un punto si allontana indefinitamente sulla curva | Tangente in un punto improprio.

da "IL NUOVO ZINGARELLI" – Vocabolario della Lingua Italiana

Esempio di funzione con discontinuità

Studiamo la funzione:          
             x 3 – x  
f(x) = ———
           2x 2 – 2

  • funzione razionale fratta con dominio D ={ x Î R / x ≠ ±1 }
  • la funzione può essere scritta:   
          x(x2– 1)                                     x
    y = ————    
    da cui si ottiene   y = —
          2(x2– 1)                                      
    2
  • Tale funzione rappresenta una retta che "subisce due interruzioni" in corrispondenza dei valori ±1.
  • I limiti, per x —>-1 e  per x —>+1, esistono e sono finiti, ma non esistono i valori f(-1) e f(1) poichè x=±1 non appartengono al dominio di f.  La funzione presenta quindi due discontinuità dello stesso tipo (eliminabili)
  • grafico:

funzione con due discontinuità eliminabili

Questo esempio è simile a quello dell’articolo Discontinuità di una funzione

Provare ora a studiare la funzione:

              1             2x 2 – 2
g(x) = ——  =  ———-  
            f(x)          x 3 – x