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Studio semplice di una funzione omografica

Studio semplice di una funzione omografica

       a x + b
y = ———–  , c≠o
       c x + d

     2 x – 1
y = ———–
    -x + 3

Dominio:  {x ∈  / -x + 3 ≠ 0,  x≠ 3}

Intersezioni con assi:
con asse x
      2 x – 1
y = ———– ,        y = 0      per  x = 1/2 ,     y=0    
     -x + 3
La funzione passa per il punto A (1/2,0)

con asse y
       2 x – 1
y = ———– ,       x = 0
      -x + 3

x = 0 , y = – 1/3

La funzione passa per il punto B (0, -1/3)

Asintoti: x=-d/c        x=3 asintoto verticale,
                        y=a/c
          y=-2 asintoto orizzontale

Segno della funzione
       2 x – 1
y = ———– 

      -x + 3

y > 0     N>0      x >1/2 ,  
              D>0      -x + 3 >0      -x>-3     x<3

N——————1/2++++++++++++++

D++++++++++++++++++++++3———

Si ha:
per x<1/2       y < 0
per x = 1/2     y = 0
per 1/2<x<3   y>0
per x=3 non esiste
per x>3           y<0

Si può poi fare una tabella per trovare le coordinate di qualche punto e tutte le informazioni vanno riportate nel piano cartesiano.


funzione omografica [1]

Se si studia la funzione con conoscenze superiori di Analisi Matematica, vanno calcolati limiti e derivata.


mtb

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15 Comments (Open | Close)

15 Comments To "Studio semplice di una funzione omografica"

#1 Comment By Anonimo On 13 Ottobre 2008 @ 16:09

meno male ke state voi

#2 Comment By Veronica On 21 Settembre 2009 @ 19:10

e se il problema mi kiede di trovare la tangente in P (punto di intersezione tra l’iperbole e 1 dei due assi)?

#3 Comment By Andrea On 5 Ottobre 2009 @ 18:24

metti a sistema l equazione dell’ iperbole con l’equazione di uno dei due assi
{[[y=0,],[equazione iperbole,]]

e poi fai la stessa cosa con x=0

#4 Comment By Marta On 15 Novembre 2009 @ 18:57

Non capisco come faccio a disegnare quella parte dell’iperbole che non si interseca con gli assi…

#5 Comment By mtb On 15 Novembre 2009 @ 23:24

Per Marta:
devi trovare le coordinate di qualche punto; per esempio, se ad x assegni il valore 4, per y ottieni -7. Hai quindi il punto (4,-7). Inoltre, una volta che hai disegnato un ramo, l’altro lo puoi ottenere per simmetria rispetto al punto di intersezione tra gli asintoti che in questo caso è il punto C(3,-2).

#6 Comment By mtb On 15 Novembre 2009 @ 23:52

per Veronica e Andrea
un metodo è questo:
una volta trovato il punto di intersezione con un asse, per esempio con l’asse x, A(1/2,0), si scrive l’equazione del fascio di rette per quel punto che è:
y = mx – m/2.

Tale equazione si mette a sistema con l’equazione dell’iperbole e si ricava l’equazione di secondo grado in x risolvente il sistema. Poichè la retta deve essere tangente le soluzioni di tale equazione devono essere reali e coincidenti, e per questo motivo si impone che il delta sia uguale a zero.
Risolvendo si ottiene:
Delta=0
25m2-40m+16=0 che dà per soluzione m=4/5.
Si sostituisce m nell’equazione del fascio e si ha:
y=(4/5)x – 4/10.

[2]

Con lo studio delle derivate si può calcolare la derivata prima della funzione in x=1/2 ed ottenere m.

f'(x)= 5 /( (x – 3)2)
m= f'(1/2) = 4/5

#7 Comment By Paola On 20 Novembre 2009 @ 12:30

Cosa succede al grafico della funzione se procediamo con il reciproco della funzione omografica di partenza? E come determinare dove una funzione omografica è crescente o decrescente?

#8 Comment By mtb On 23 Novembre 2009 @ 07:49

per Paola
1) dove f(x)=0, la g(x)=1/f(x) non esiste, quindi l’asintoto verticale di g(x), per questo esempio sarà x=1/2
2) dove f(x) non esiste, g(x) ha un punto di intersezione con l’asse x. In questo caso g(x) passerà per (3,0)
3) il punto di intersezione con l’asse y che in f(x)è B(0, h) sarà, per g(x), (0,1/h)
4) L’asintoto orizzontale di f(x) è y=k (2/-1) e per g(x) sarà y=1/k (-1/2)
5) dove f(x) era crescente, la g(x) sarà decrescente (tenendo conto comunque dei domini f(x)e di g(x))

#9 Comment By maury On 2 Giugno 2010 @ 16:16

grazie mille!! meno male che l’ho trovata altrimenti mi sarei passato l’estate a studiare!! 🙂

#10 Comment By mtb On 2 Giugno 2010 @ 18:08

maury, cosa significa di preciso?
mt

#11 Comment By fus On 28 Giugno 2010 @ 17:58

volevo sapere la definizione precisa della funzione omografica..

#12 Comment By katia On 18 Novembre 2010 @ 16:56

come si fa a vedere se è crescente o decrescente?

#13 Comment By mtb On 20 Novembre 2010 @ 11:38

@katia: usando la derivata prima della funzione.

        ad – bc
f'(x) = ———–
        (cx + d)2

Quindi
se ad – bc>0 la funzione è crescente, se ad – bc<0 è decrescente.

#14 Comment By daniele denuccio On 19 Settembre 2011 @ 08:57

trasformazioni geometriche che portano la funzione 1/X nella funzione omografica Y= (ax+b)/(cx+d)
e importante 🙂

#15 Comment By marco On 19 Settembre 2011 @ 08:58

trasformazioni geometriche che portano la funzione reciproco 1/x alla funzione omografica    (ax+b)/(cx+d)
aiutatemi please 🙂