Problemi e Modello Matematico

  • PROBLEMA
  • COSTRUZIONE del MODELLO MATEMATICO
  • SOLUZIONE del MODELLO MATEMATICO
  • VERIFICA e CONTROLLO delle SOLUZIONI

    Il modello matematico è una rappresentazione del problema in termini di espressioni e simboli matematici.
    Si rappresenta il problema con funzioni, equazioni e/o disequazioni in n incognite e vincoli.

    I modelli matematici sono utilizzati in Ricerca Operativa , disciplina scientifica abbastanza recente (2a Guerra Mondiale) che può essere definita come:

  • l’applicazione del metodo scientifico
  • da parte di gruppi interdisciplinari
  • a problemi che implicano il controllo di sistemi organizzati (uomo-macchina) al fine di fornire soluzioni che meglio servano agli scopi dell’organizzazione nel suo insieme
    ( R.L.Ackoff – M.W.Sasieni)

    Nei problemi che stiamo facendo, il modello matematico è rappresentato da un’equazione o da un sistema di equazioni, le cui incognite sono sottoposte a vincoli.
    In particolare, se il problema è di tipo geometrico, le incognite rappresentano quasi sempre lunghezze di segmenti che sono sottoposti al vincolo di essere positivi o nulli.

    Problema
    Assegnato un triangolo rettangolo, si sa che le lunghezze dei cateti differiscono di una unità, mentre l’ipotenusa è maggiore di tre unità rispetto al cateto minore. Calcolare il perimetro del triangolo.

    Modello matematico

    1a fase – Assegnazione delle incognite
    c1 = cateto minore
    c2 = cateto maggiore
    i = ipotenusa

    2a fase – Relazioni tra le incognite
    c2-c1 = 1
    i = c1+3
    una terza relazione è data dal Teorema di Pitagora
    c1²+c2² = i²

    Si ha un sistema di tre equazioni e tre incognite con i vincoli:
    c1>=0, c2>=0, i>=0

    3a fase – Soluzione del modello matematico
    Si risolve il sistema, sostituendo nella terza equazione
    c2= c1+1 e i = c1+3
    in modo da avere un’equazione con una sola incognita, che in questo caso è c1.

    c1²+(c1+1)²=(c1+3)²

    Si sviluppano i calcoli e si trovano le soluzioni di questa equazione di secondo grado nell’incognita c1.

    c1² – 4·c1 – 8 = 0

    c1 = 2 – 2rad(3)
    c1 = 2rad(3) + 2

    rad= radice quadrata

    3a fase – Controllo dei vincoli
    Poichè la prima soluzione è negativa non rispetta il vincolo di non negatività, quindi non è accettabile.

    4a fase – Ricerca di tutti gli altri elementi richiesti
    Si sostituisce il valore trovato di c1, per avere c2 e i; infine si trova il perimetro:

    2p = c1+c2+i =
    = (2rad(3) + 2) + (2rad(3) + 2 + 1) + (2rad(3) + 2 + 3)=
    = 6rad(3) + 10 u

    mtb

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