La versiera di M.Gaetana AGNESI

Ripropongo questo post scritto nel 2004 sulla versiera di Maria Gaetana Agnesi visto che anche quest’anno era oggetto di uno dei problemi dell’Esame di Stato per il Liceo Scientifico di ordinamento.

PROBLEMA 2
Sia f  la funzione definita, per tutti gli x reali, da  f(x) = 8/ (4+x²)

1. Si studi f e se ne disegni il grafico Φ in un sistema di coordinate cartesiane Oxy . Si scrivano le equazioni delle tangenti a Φ nei punti P (−2;1 ) e Q (2 ;1) e si consideri il quadrilatero convesso che esse individuano con le rette OP e OQ . Si provi che tale quadrilatero è un rombo e si determinino le misure, in gradi e primi sessagesimali, dei suoi angoli.
2. Sia Γ  la circonferenza di raggio 1 e centro (0 ;1). Una retta t, per l’origine degli assi, taglia Γ oltre che in O in un punto A e taglia la retta d’equazione y =2  in un punto B. Si provi che, qualunque sia t , l’ascissa x di B e l’ordinata y di A sono le coordinate (x;y) di un punto di Φ.
3. Si consideri la regione R compresa tra Φ e l’asse x sull’intervallo [0 ,2]. Si provi che R è equivalente al cerchio delimitato da Γ e si provi altresì che la regione compresa tra Φ e tutto l’asse x è equivalente a quattro volte il cerchio.
4. La regione R, ruotando attorno all’asse y, genera il solido W. Si scriva, spiegandone il perchè, ma senza calcolarlo, l’integrale definito che fornisce il volume di W.

2a prova Liceo Scientifico ordinamento 2013 (PdF – link esterno)

Versiera di M.Gaetana Agnesi

 grafico eseguito con Derive 6
> clic sull’immagine per ingrandire <

Studio completo della versiera (PdF)

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Il 16 maggio 1718 nacque a Milano Maria Gaetana Agnesi, matematica italiana che pubblicò nel 1748 un trattato di analisi dal titolo “Istituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana“.

L’Agnesi ha legato il suo nome alla versiera, una curva che però non fu scoperta da lei, ma da Guido Grandi. Grandi l’aveva chiamata curva con seno verso (sinus versus) cioè inverso del seno ma pure contrario, nemico. Da qui, versiera, “avversaria”, nome solitamente attribuito alle streghe. In inglese la curva è nota come witch of Agnesi (strega di Agnesi).

Nel 2003 la versiera di M.Gaetana Agnesi è stata oggetto di uno dei problemi degli Esami di Stato per il Liceo Scientifico.

PROBLEMA 1

Nel piano sono dati: il cerchio g di diametro OA = a, la retta t tangente a g in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g, il punto C intersezione di r con t. La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s’ intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo geometrico G noto con il nome di versiera di Agnesi [da Maria Gaetana Agnesi, matematica milanese, (1718-1799)].

1. Si provi che valgono le seguenti proporzioni: OD : DB = OA : DP, OC : DP = DP : BC, ove D è la proiezione ortogonale di B su OA;

2. Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche Oxy, l’equazione cartesiana di G è: y = a³/ (x²+a²)

3. Si tracci il grafico di G e si provi che l’area compresa fra G e il suo asintoto è quattro volte quella del cerchio g.

grafico della versiera
mtb

Costruzione di una parabola

parabola

Vai alla costruzione con GEOGEBRA (dati fuoco e direttrice fissi)

parabola 2

Vai alla costruzione con GEOGEBRA (data direttrice fissa e fuoco variabile)


Muovere il fuoco F e lasciare fissa la direttrice
Muovere la direttrice e lasciare fisso il fuoco
In una parabola muovere P e osservare che PF=PH

Vai alla costruzione con GEOGEBRA (direttrice e fuoco variabili)

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF) 

      2x2 + 1
y= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
       x3

f4 Osservare analogie e differenze con la precedente funzione

        2x2 – 1
y= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
       x3

Maria Teresa Bianchi © 2011

Studio di funzione

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF) 

      2x2 – 1
y= ———–
        x3
  f3

Teorema di Pitagora di Liu Hui

Liu Hui e il Teorema di Pitagora
tp

Vai alla costruzione di Liu Hui eseguita con Geogebra

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA

     4x
y = ————-
       (x+4)2 

funzione razionale fratta

   Studio di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF)

      ax
y = ————-
        (x+a)2

Studio generale di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF) 

Maria Teresa Bianchi ©2011

Generalizzare da un semplice problema

Dato un rettangolo di base b e altezza h, se si incrementano le due dimensioni di una stessa quantità, quale è la differenza dei perimetri dei due rettangoli? E quella delle aree?

Generalizzare da un semplice problema (PdF, 899.25 Kb)

Studio di funzione

Studio di Funzione fratta con termini esponenziali e irrazionali

e√x
y = ————-
 (1+√x)

Funzione fratta con termini esponenziali e irrazionali

Studio completo: Studio di funzione (PdF)

Maria Teresa Bianchi
©2011

Piccolo problema

E’ più grande il doppio di un numero o il suo quadrato?

Per rispondere possiamo modellizzare il problema con due funzioni che, assegnato x (il numero), ci restituiscono come valore ( y ), il doppio del numero (2x) e il suo quadrato ().

#1:        y = 2x
#2:        y = x²

Costruiamo il grafico delle due funzioni: la prima è una retta crescente passante per l’origine O, la seconda è una parabola con vertice nell’origine degli assi e concavità verso l’alto.

doppio e quadrato

Osservando i grafici ottenuti, dal confronto dei valori di y ottenuti al variare di x nelle due funzioni, possiamo subito rispondere alla domanda posta:

  • se x  (lo si può capire anche pensando al segno che assumono entrambi: il doppio rimane negativo come il numero, mentre il quadrato genera un numero positivo)
     
  • se x=0 il doppio e il quadrato sono uguali  (entrambi uguali a 0 – punto O)
  • se 0<x  (il segmento di retta OA si trova “al di sopra ” dell’arco di parabola OA)
     
  • se x=2 il doppio e il quadrato sono uguali  (entrambi uguali a 4 – punto A)
     
  • se x>2 il doppio è minore del quadrato  (l’arco di parabola che inizia dal punto A si trova “al di sopra” della semiretta di origine A)

—————-

Puoi prelevare il  File in formato PdF

Materiali didattici in PdF

Le curve celebri” 
Studio di ax+by+c=0
Studio di y = a x² + b x + c
La funzione cubica:  y = ax³ + bx² + cx + d“,
creati con Derive, sono disponibili in formato PdF.

ANGOLI ASSOCIATI

BLOG DI CLASSE 4ALC 2003-2004 postato da maria teresa

sen x

Inserisco il grafico della funzione y=senx per ricordare come si ricercano graficamente le “formule” degli angoli associati.
In questo caso si osserva che il punto di ascissa “alfa” ha il valore del seno uguale a quello dell’angolo supplementare “π-α”.

Si può osservare, infatti, che la retta parallela all’asse delle ascisse interseca la funzione y=senx in due punti che hanno ovviamente la stessa ordinata.
Analogamente si procede per gli altri angoli associati e per la funzione coseno.
Se riesco ad inserire il grafico nel blog, poi invierò gli altri!!!
mtb

angoli associati 1
In questo grafico sono presenti anche le relazioni che intercorrono tra il seno dell’angolo “α” e il seno dell’angolo opposto (-α), e, analogamente, del seno dell’angolo (π+α) e del seno dell’angolo esplementare (2π-α).
Mi raccomando… studiate!!!
mtb

Qui ci sono rappresentate graficamente le relazioni degli angoli associati per la funzione y=cosx
mtb

Angoli COMPLEMENTARI e angoli che differiscono di un angolo retto

Ultimo grafico degli angoli associati: qui si devono contemporaneamente confrontare i grafici delle funzioni y=senx e y=cosx


Buon lavoro mtb

da matebi4alc.blog.tiscali.it

Il blog della classe 4ALC 2003-2004

BLOG DI CLASSE in costruzione postato da maria teresa

Sabato 29 Novembre 2003 ore 15:06:37


4 alc

Questo è il blog di classe che può essere “agganciato” dal blog principale http://matebi.blog.tiscali.it
o anche direttamente
http://matebi4alc.blog.tiscali.it

I contatti tramite e-mail sono inseriti nel blog “principale”

Ancora è tutto in prova…

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