Studio di funzione RAZIONALE FRATTA

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF) 

      2x2 + 1
y= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
       x3

f4 Osservare analogie e differenze con la precedente funzione

        2x2 – 1
y= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
       x3

Maria Teresa Bianchi © 2011

Studio di funzione

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF) 

      2x2 – 1
y= ———–
        x3
  f3

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA

     4x
y = ————-
       (x+4)2 

funzione razionale fratta

   Studio di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF)

      ax
y = ————-
        (x+a)2

Studio generale di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF) 

Maria Teresa Bianchi ©2011

Studio di funzione

Studio di Funzione fratta con termini esponenziali e irrazionali

e√x
y = ————-
 (1+√x)

Funzione fratta con termini esponenziali e irrazionali

Studio completo: Studio di funzione (PdF)

Maria Teresa Bianchi
©2011

Piccolo problema

E’ più grande il doppio di un numero o il suo quadrato?

Per rispondere possiamo modellizzare il problema con due funzioni che, assegnato x (il numero), ci restituiscono come valore ( y ), il doppio del numero (2x) e il suo quadrato ().

#1:        y = 2x
#2:        y = x²

Costruiamo il grafico delle due funzioni: la prima è una retta crescente passante per l’origine O, la seconda è una parabola con vertice nell’origine degli assi e concavità verso l’alto.

doppio e quadrato

Osservando i grafici ottenuti, dal confronto dei valori di y ottenuti al variare di x nelle due funzioni, possiamo subito rispondere alla domanda posta:

  • se x  (lo si può capire anche pensando al segno che assumono entrambi: il doppio rimane negativo come il numero, mentre il quadrato genera un numero positivo)
     
  • se x=0 il doppio e il quadrato sono uguali  (entrambi uguali a 0 – punto O)
  • se 0<x  (il segmento di retta OA si trova “al di sopra ” dell’arco di parabola OA)
     
  • se x=2 il doppio e il quadrato sono uguali  (entrambi uguali a 4 – punto A)
     
  • se x>2 il doppio è minore del quadrato  (l’arco di parabola che inizia dal punto A si trova “al di sopra” della semiretta di origine A)

—————-

Puoi prelevare il  File in formato PdF

Materiali didattici: un breve riepilogo

Downloads:
Suggestioni numeriche 815.00 Kb

Scheda di riepilogo: radicali 182.80 Kb

Espressioni letterali e dominio in R 100.13 Kb

Studio di ax+by+c=0 206.02 Kb

Scheda di riepilogo: ax+by+c=0 182.70 Kb

Studio di y = a x² + b x + c 184.88 Kb

Studio della funzione cubica 125.45 Kb

Traslazioni di funzioni 120.09 Kb

Funzioni razionali fratte 1.06 MB

Studio di y = (a x² + b x + c)/(dx+e) 83.19 Kb

Studio della versiera di G.Agnesi 113.08 Kb

Differenziale di una funzione 69.80 Kb

Trasformazioni lineari: simmetria assiale 126.05 Kb

Trasformazioni lineari: simmetria centrale 118.48 Kb

Quesito n.3 Esami 2006 – Liceo Scientifico 113.46 Kb

Quesito n.7 Esami 2006 – Liceo Scientifico 82.69 Kb

 “LE CURVE CELEBRI”  180.52 Kb

I files sono in formato PdF

da www.liceomazzatinti.it

Le funzioni: uno sguardo a tutto tondo

FUNZIONI
Le funzioni: uno sguardo a tutto tondo
Colloquio con Lucilla Cannizzaro* a cura di Walter Maraschini**

 da TRECCANI-scuola

*Professore associato di Matematiche Complementari presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Roma ‘La Sapienza’
**Docente di Matematica e Fisica presso l’Istituto ‘Machiavelli’ di Roma. Autore di libri di testo per la scuola superiore (www.maraschini.it)

Materiali didattici in PdF

Le curve celebri” 
Studio di ax+by+c=0
Studio di y = a x² + b x + c
La funzione cubica:  y = ax³ + bx² + cx + d“,
creati con Derive, sono disponibili in formato PdF.

Asintoti non lineari

Una funzione può essere asintotica, all’ ∞, non necessariamente ad una retta, ma anche ad un’altra funzione.

Consideriamo la funzione razionale fratta:
       x3 + 1
y = ———–
             x

Tale funzione può essere anche scritta così:

                       1
y =  x2   +  —-
                       x

La differenza tra la funzione e la parabola y =  x2  è    1/x  e,  per x tendente ad infinito, tale quantità  tende a zero.

Si ha allora un grafico di questo tipo:

Grafico Asintoto Parabolico

Funzioni: continuità-discontinuità

funzioni 

Studiare le seguenti funzioni, con particolare riferimento alla continuità.

Funzioni logaritmiche e dominio

Assegnata la funzione
y = ln((x – 1)·(-x + 3))
il suo dominio in R è dato dai valori di x appartenenti a R tali che (x – 1)·(-x + 3) > 0

Risolvendo la disequazione prodotto   SOLVE((x – 1)·(-x + 3) > 0, x)
si ottiene 1 < x < 3 che risulta essere il dominio della funzione.

Assegnata la funzione
y = ln(x – 1)+ ln(-x + 3)
che si ottiene dalla precedente applicando una delle proprietà dei logaritmi, il suo dominio in R
è dato dai valori di x appartenenti a R tali che  x – 1 > 0  et  -x + 3 > 0.

Si deve cioè risolvere un sistema di due disequazioni SOLVE([x – 1 > 0, -x + 3 > 0], [x])
si ottiene 1 < x < 3 che risulta essere il dominio della funzione.

In questo caso pur avendo risolto una disequazione prodotto e un sistema di disequazioni il dominio resta lo stesso; il grafico delle due funzioni sarà quindi lo stesso.

In altri casi il dominio cambia:

1 –   y=ln((x – 1)·(x + 3))

2 –  y= ln(x – 1)+ ln(x + 3)

Grafico della 1

Dominio:   x<-3  v  x>1 (si risolve una disequazione prodotto)

Grafico della 2

Dominio: x>1  (si risolve un sistema di disequazioni)

Maria Gaetana Agnesi

Il 16 maggio 1718 nacque a Milano

Maria Gaetana Agnesi, matematica italiana che pubblicò nel 1748 un trattato di analisi dal titolo “Istituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana“.

 

L’Agnesi ha legato il suo nome alla versiera, una curva che però non fu scoperta da lei, ma da Guido Grandi. Grandi l’aveva chiamata curva con seno verso (sinus versus) cioè inverso del seno ma pure contrario, nemico. Da qui, versiera, “avversaria”, nome solitamente attribuito alle streghe. In inglese la curva è nota come witch of Agnesi (strega di Agnesi).

Nel 2003 la versiera di M.Gaetana Agnesi è stata oggetto di uno dei problemi degli Esami di Stato per il Liceo Scientifico.

PROBLEMA 1

Nel piano sono dati: il cerchio g di diametro OA = a, la retta t tangente a g in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g, il punto C intersezione di r con t. La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s’ intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo geometrico G noto con il nome di versiera di Agnesi [da Maria Gaetana Agnesi, matematica milanese, (1718-1799)].

1. Si provi che valgono le seguenti proporzioni: OD : DB = OA : DP, OC : DP = DP : BC, ove D è la proiezione ortogonale di B su OA;

2. Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche Oxy, l’equazione cartesiana di G è: y = a³/ (x²+a²)

3. Si tracci il grafico di G e si provi che l’area compresa fra G e il suo asintoto è quattro volte quella del cerchio g.

 

Nel box a destra MATERIALI DIDATTICI ci sono la costruzione geometrica della versiera con Cabri e la versiera studiata con Derive.(prima salva e poi apri)

 

grafico della versiera
mtb

 

 

funzioni esponenziali e logaritmiche

il gioco delle simmetrie nelle funzioni esponenziali e logaritmiche

Studio semplice di una funzione omografica

Studio semplice di una funzione omografica

       a x + b
y = ———–  , c≠o
       c x + d

     2 x – 1
y = ———–
    -x + 3

Dominio:  {x ∈  / -x + 3 ≠ 0,  x≠ 3}

Intersezioni con assi:
con asse x
      2 x – 1
y = ———– ,        y = 0      per  x = 1/2 ,     y=0    
     -x + 3
La funzione passa per il punto A (1/2,0)

con asse y
       2 x – 1
y = ———– ,       x = 0
      -x + 3

x = 0 , y = – 1/3

La funzione passa per il punto B (0, -1/3)

Asintoti: x=-d/c        x=3 asintoto verticale,
                        y=a/c
          y=-2 asintoto orizzontale

Segno della funzione
       2 x – 1
y = ———– 

      -x + 3

y > 0     N>0      x >1/2 ,  
              D>0      -x + 3 >0      -x>-3     x<3

N——————1/2++++++++++++++

D++++++++++++++++++++++3———

Si ha:
per x<1/2       y < 0
per x = 1/2     y = 0
per 1/2<x<3   y>0
per x=3 non esiste
per x>3           y<0

Si può poi fare una tabella per trovare le coordinate di qualche punto e tutte le informazioni vanno riportate nel piano cartesiano.


funzione omografica

Se si studia la funzione con conoscenze superiori di Analisi Matematica, vanno calcolati limiti e derivata.


mtb

Pagina 1 di 11

XML Sitemap