Vai alla costruzione con GEOGEBRA (dati fuoco e direttrice fissi)

Vai alla costruzione con GEOGEBRA (data direttrice fissa e fuoco variabile)

Muovere il fuoco F e lasciare fissa la direttrice
Muovere la direttrice e lasciare fisso il fuoco
In una parabola muovere P e osservare che PF=PH

Vai alla costruzione con GEOGEBRA (direttrice e fuoco variabili)

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF) 

      2x² + 1
y= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
       x³

Osservare analogie e differenze con la precedente funzione

        2x² – 1
y= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
       x³

Maria Teresa Bianchi © 2011

Liu Hui e il Teorema di Pitagora

Vai alla costruzione di Liu Hui eseguita con Geogebra

Dato un rettangolo di base b e altezza h, se si incrementano le due dimensioni di una stessa quantità, quale è la differenza dei perimetri dei due rettangoli? E quella delle aree?

Generalizzare da un semplice problema (PdF, 899.25 Kb)

Partendo da un problema semplice si possono far riflettere gli alunni sul modello matematico, sui vincoli, sull’avere soluzioni o meno, sulla geometria applicata a situazioni reali e molto di più.

Il testo del problema:
Date due figure, un trapezio rettangolo ABCD e un triangolo PQR, con lati:
AB=2x-1, BC=x+2, CD=9, DA=x
PR=x, QR=x+6 e PQ= 2AB-9
determinare x in modo tale che Il rapporto tra il perimetro di ABCD e quello di PQR sia 43/42.

Prima di entrare nel vivo del problema, abbiamo ragionato sul trapezio e cercato di capire quanti trapezi potessero godere di quelle proprietà.
La risposta degli studenti: infiniti.
- Infiniti, sì, ma pur con quelle proprietà: un lato fisso (CD=9), uno variabile (DA=x) e gli altri due (AB e BC) dipendenti da “quello” variabile.
Allora, prima di risolvere il problema dato, cerchiamo quello (quel trapezio) che abbia perimetro 100:
Impostiamo la relazione:
perimetro di ABCD=100
AB+ BC+ CD+ DA=100  (traduciamo il perimetro del trapezio come somma dei lati)
2x-1+x+2+9+x=100  (sostituiamo le espressioni dei lati e facciamo i calcoli)
4x-90=0  (forma normale di un’equazione di 1° grado)
4x=90
x=90/4 = 45/2= 22.5   soluzione

- e gli altri lati? AB=44, BC=24.5.
- verifichiamo? 44+24.5+22.5+9= 100!! E’ andato tutto bene, ma sarà sempre così?
- e se il perimetro fosse stato 10?
Impostiamo di nuovo l’equazione:
2x-1+x+2+9+x=10
4x=0

la risposta degli studenti: l’equazione è possibile con soluzione x=0 … ma per x=0 non c’è più il trapezio!
- e se il perimetro fosse stato 6?
4x+10=6
4x=-4
x=-2
Anche qui l’equazione è possibile, ma il valore di x negativo non è accettabile per la lunghezza di un segmento.
- e se il perimetro fosse stato 12?
4x+10=12
4x=2
x=1/2
Qui l’equazione è possibile, il valore di x è positivo, quindi sembra andare tutto bene… ma gli altri lati AB e BC?
BC = x+2 = 1/2+2 = 5/2 … va bene!
AB = 2x-1 = 2(1/2)-1 = 0
Di nuovo un lato di lunghezza nulla. Quindi anche 1/2 non è accettabile come valore da assegnare alla x.

- Allora questa x non può essere qualunque!
- Quali vincoli avrà?
   x>0!  Certo,  ma i lati che dipendono da x?
Anche AB=2x-1 e BC=x+2 devono essere maggiori di 0.

Allora, in modo quasi naturale, si introduce un sistema di disequazioni (vincoli):

x>0
2x-1>0
x+2>0

Gli studenti capiscono che queste tre relazioni devono essere vere contemporaneamente e, illustrato il metodo grafico delle linee,

———————- -2 ———————————-
——————————– 0 —————————–
—————————————————- 1/2 —————–

è immediato dire che il vincolo per x è:
 x>1/2, cioè dove tutte e tre le disequazioni sono vere.

Tornando, quindi ai vari casi visti prima, si capisce perchè la soluzione 22.5 è accettabile mentre le altre non lo sono.

Si riflette ancora:
- l’equazione risolvente, parte del modello matematico del problema, 4x+10= n, dove n rappresenta il valore assegnato al perimetro, potrebbe essere impossibile o indeterminata?
Dopo un po’ di tempo, la risposta degli studenti è no.
- certo NO, perchè il coefficiente del monomio in x nella forma normale è sempre 4, quindi diverso da 0. [un'equazione di 1° grado per essere impossibile o indeterminata deve avere il coefficiente dell'incognita uguale a 0].

Concludendo il modello matematico del problema è dato da un’equazione di 1° grado in x e da un sistema di tre vincoli che ha per soluzione x>1/2:

4x+10= n

x>0
2x-1>0         →  x>1/2
x+2>0

Si potrebbe allora ancora aggiungere qualcosa e generalizzare: perchè non vedere quale valore è possibile dare ad n per avere un problema possibile?
La soluzione dell’equazione è x= (n-10)/4  e tale valore deve essere maggiore di 1/2.
Cioè:     (n-10)/4 > 1/2   →   n-10>2    →   n>12.

Però non abbiamo ancora risolto il problema dato perchè abbiamo ragionato in un sottoproblema: trovare il valore di x in modo tale che il perimetro del trapezio valga un certo numero n.

Prendiamo in considerazione il triangolo di lati
PR=x, QR=x+6 e PQ = 2AB-9 = 2(2x-1) – 9 = 4x -2 -9 = 4x-11

Poichè il problema presenta due figure con un lato congruente (DA=x e PR=x) i vincoli devono essere messi in comune; quindi si avrà:

x>0
2x-1>0        
x+2>0
x+6>0
4x-11>0

——- -6 —————————————————
——————— -2 ——————————————-
——————————– 0 ————————————-
—————————————————- 1/2 ————————-
——————————————————————- 11/4 ————–

e la soluzione è  x>11/4.
Il vincolo per x è quindi x>11/4.

Determiniamo il perimetro del triangolo:
PR+PQ+QP= x+x+6+4x-11 = 6x -5

Impostiamo l’equazione richiesta [rapporto dei perimetri = 42/43]

(4x + 10)/(6x – 5)=42/43

Risolviamo facendo il m.c.m. ed escudendo 5/6 per il campo di esistenza di un’equazione fratta [5/6 è comunque escluso dal vincolo x>11/4].
43·(4x + 10) = 42·(6x – 5)  →   20x = 160    →  x=160/20 = 8

x=8 è  soluzione accettabile perchè rispetta il vincolo x>11/4.

Consideriamo ora le due figure e calcoliamo le lunghezze dei lati:
TRAPEZIO:
AB=2x-1 = 2·8 -1= 15 , BC=x+2 = 8+2= 10, CD=9, DA=8
Perimetro = 4x+10 = 4·8 + 10 = 42
TRIANGOLO:
PR=x = 8, QR=x+6 = 8+6= 14,  PQ = 4x-11 =32-11= 21
Perimetro = 6x-5 = 48 -5 = 43.

Il rapporto dei perimetri è 42/43.

… Far disegnare le due figure ottenute su cartaceo e/o usando un software come GeoGebra (Costruzione di un triangolo noti i tre lati).

Downloads:
Suggestioni numeriche 815.00 Kb

Scheda di riepilogo: radicali 182.80 Kb

Espressioni letterali e dominio in R 100.13 Kb

Studio di ax+by+c=0 206.02 Kb

Scheda di riepilogo: ax+by+c=0 182.70 Kb

Studio di y = a x² + b x + c 184.88 Kb

Studio della funzione cubica 125.45 Kb

Traslazioni di funzioni 120.09 Kb

Funzioni razionali fratte 1.06 MB

Studio di y = (a x² + b x + c)/(dx+e) 83.19 Kb

Studio della versiera di G.Agnesi 113.08 Kb

Differenziale di una funzione 69.80 Kb

Trasformazioni lineari: simmetria assiale 126.05 Kb

Trasformazioni lineari: simmetria centrale 118.48 Kb

Quesito n.3 Esami 2006 – Liceo Scientifico 113.46 Kb

Quesito n.7 Esami 2006 – Liceo Scientifico 82.69 Kb

 “LE CURVE CELEBRI”  180.52 Kb

I files sono in formato PdF

da www.liceomazzatinti.it

In quarta stiamo affrontando i numeri complessi; segnalo:

1. IMPOSSIBILE? UAH, UAH!
2. NUMERI IMMAGINARI, NUMERI COMPLESSI
3. A COSA NON SERVONO I NUMERI COMPLESSI
4. A COSA SERVONO I NUMERI COMPLESSI
   a) Impiego dei numeri complessi in matematica pura
   b) Impiego dei numeri complessi in Fisica e in Ingegneria

da Chi ha paura della matematica?

i² = – 1

Continuo la sistemazione dei materiali didattici prodotti in questi anni per i miei alunni.
I link sono nel box a destra del blog.

Traslazioni di funzioni (PdF)

“Le curve celebri“ 
“Studio di ax+by+c=0”
“Studio di y = a x² + b x + c ”
“La funzione cubica:  y = ax³ + bx² + cx + d“,
creati con Derive, sono disponibili in formato PdF.

a ⁰ = 1

Dimostrazione:
a ⁿ : a ⁿ = 1 ( divisione di due "quantità" uguali )
ma  a ⁿ : a ⁿ = a ^n-n = a ⁰    (proprietà delle potenze con stessa base)
quindi, per la proprietà transitiva dell’uguaglianza, si ha  a ⁰ = 1
con a diverso da zero

     2 x – 1
y = ——–
         x² 
     

Consiglio di rivedere Funzioni razionali fratte (Power Point – zip)

Per tutti gli alunni, ma in particolare per la classe 2ALC ripropongo questo articolo: Problemi e Modello Matematico

La funzione è razionale intera ed è espressa in forma normale da:

 y = ax³ + bx² + cx + d

I coefficienti del polinomio di 3° grado a secondo membro (a, b, c, d) sono numeri razionali.

Se a≠0                                        
si ha una cubica
Se a=0 e b≠0                             
si ha una parabola
Se a=0 e b=0 e c ≠0                
si ha una   retta non parallela all’asse x
Se a=0 e b=0 e c=0 e d≠0      
si ha una funzione costante (retta parallela all’asse x)
Se a=0 e b=0 e c=0 e d=0      
si ha   l’ asse x

Download  dello studio della cubica.

Ho utilizzato  Derive; il file è apribile in formato pdf.

Clicca qui se hai GeoGebra installato:  altrimenti guarda in questo link    .

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mtb

Questa è una prova con GeoGebra: provate a cliccare qui .

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