Vai alla costruzione con GEOGEBRA (dati fuoco e direttrice fissi)

Vai alla costruzione con GEOGEBRA (data direttrice fissa e fuoco variabile)

Muovere il fuoco F e lasciare fissa la direttrice
Muovere la direttrice e lasciare fisso il fuoco
In una parabola muovere P e osservare che PF=PH

Vai alla costruzione con GEOGEBRA (direttrice e fuoco variabili)

Liu Hui e il Teorema di Pitagora

Vai alla costruzione di Liu Hui eseguita con Geogebra

Guardate l’ Effetto caleidoscopio realizzato con GeoGebra dal blog: splash ragazzi

Un foglio di carta deve contenere: un’area di stampa di 50 cm², margini superiore ed inferiore di 4 cm e margini laterali di 2 cm. Quali sono le dimensioni del foglio di carta di area minima che si puo’ utilizzare?

Chiamando x e y le dimensioni del rettangolo esterno, l’area del rettangolo interno sarà data da:

(x – 8)·(y – 4) = 50

x > 8

y > 4

e, ricavando y in funzione di x, si ha:

                                 2·(2·x + 9)

                            y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                                    x – 8    

L’area del rettangolo esterno sarà data da:

area(x, y) ≔ x·y

                                      2·x·(2·x + 9)

                     area(x) ≔ x·y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                                          x – 8     

Questa è la funzione che esprime l’area del foglio che deve essere minima:

                                2·x·(2·x + 9)

                           y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                                    x – 8     

Calcolando la derivata prima e ponendola uguale a 0 si ottengono i valori degli eventuali massimi e/o minimi relativi.

Si può osservare che la funzione è razionale fratta del tipo: polinomio di secondo grado fratto polinomio di primo grado e irriducibile.

E’ una funzione standard il cui studio generale si trova nei link a destra.

d   2·x·(2·x + 9)

⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

dx      x – 8     

                                 2              

                             4·(x  - 16·x – 36)

                            ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0

                                         2      

                                  (x – 8)       

                             x = 18 ∨ x = -2

Il valore negativo non è accettabile per il problema proposto.

Nel punto che si ottiene per x=18 si ha un minimo relativo.

L’area minima è 162.

Il valore dell’altra dimensione è 9.

                               2·18·(2·18 + 9)

                          y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                                    18 – 8     

                                 y = 162                        

punto di minimo [18, 162]

Il rettangolo è stato disegnato con GeoGebra; tutto il resto è stato fatto con Derive.

Clicca qui se hai GeoGebra installato:  altrimenti guarda in questo link    .

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mtb