Studio di funzione RAZIONALE FRATTA

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF) 

      2x2 + 1
y= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
       x3

f4 Osservare analogie e differenze con la precedente funzione

        2x2 – 1
y= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
       x3

Maria Teresa Bianchi © 2011

Studio di funzione

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF) 

      2x2 – 1
y= ———–
        x3
  f3

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA

Studio di funzione RAZIONALE FRATTA

     4x
y = ————-
       (x+4)2 

funzione razionale fratta

   Studio di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF)

      ax
y = ————-
        (x+a)2

Studio generale di funzione RAZIONALE FRATTA (PdF) 

Maria Teresa Bianchi ©2011

Studio di funzione

Studio di Funzione fratta con termini esponenziali e irrazionali

e√x
y = ————-
 (1+√x)

Funzione fratta con termini esponenziali e irrazionali

Studio completo: Studio di funzione (PdF)

Maria Teresa Bianchi
©2011

Piccolo problema

E’ più grande il doppio di un numero o il suo quadrato?

Per rispondere possiamo modellizzare il problema con due funzioni che, assegnato x (il numero), ci restituiscono come valore ( y ), il doppio del numero (2x) e il suo quadrato ().

#1:        y = 2x
#2:        y = x²

Costruiamo il grafico delle due funzioni: la prima è una retta crescente passante per l’origine O, la seconda è una parabola con vertice nell’origine degli assi e concavità verso l’alto.

doppio e quadrato

Osservando i grafici ottenuti, dal confronto dei valori di y ottenuti al variare di x nelle due funzioni, possiamo subito rispondere alla domanda posta:

  • se x  (lo si può capire anche pensando al segno che assumono entrambi: il doppio rimane negativo come il numero, mentre il quadrato genera un numero positivo)
     
  • se x=0 il doppio e il quadrato sono uguali  (entrambi uguali a 0 – punto O)
  • se 0<x  (il segmento di retta OA si trova “al di sopra ” dell’arco di parabola OA)
     
  • se x=2 il doppio e il quadrato sono uguali  (entrambi uguali a 4 – punto A)
     
  • se x>2 il doppio è minore del quadrato  (l’arco di parabola che inizia dal punto A si trova “al di sopra” della semiretta di origine A)

—————-

Puoi prelevare il  File in formato PdF

Le funzioni: uno sguardo a tutto tondo

FUNZIONI
Le funzioni: uno sguardo a tutto tondo
Colloquio con Lucilla Cannizzaro* a cura di Walter Maraschini**

 da TRECCANI-scuola

*Professore associato di Matematiche Complementari presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Roma ‘La Sapienza’
**Docente di Matematica e Fisica presso l’Istituto ‘Machiavelli’ di Roma. Autore di libri di testo per la scuola superiore (www.maraschini.it)

Traslazioni di funzioni

Continuo la sistemazione dei materiali didattici prodotti in questi anni per i miei alunni.
I link sono nel box a destra del blog.

Traslazioni di funzioni (PdF)

Materiali didattici in PdF

Le curve celebri” 
Studio di ax+by+c=0
Studio di y = a x² + b x + c
La funzione cubica:  y = ax³ + bx² + cx + d“,
creati con Derive, sono disponibili in formato PdF.

Grafico di funzione

Grafico di funzione     2 x – 1
y = ——–
         x² 
     

 

 

 

 

 

 

Consiglio di rivedere Funzioni razionali fratte (Power Point – zip)

    

Studio della cubica

La funzione è razionale intera ed è espressa in forma normale da:

 y = ax³ + bx² + cx + d

I coefficienti del polinomio di 3° grado a secondo membro (a, b, c, d) sono numeri razionali.

Se a≠0                                        
si ha una cubica
Se a=0 e b≠0                             
si ha una parabola
Se a=0 e b=0 e c ≠0                
si ha una   retta non parallela all’asse x
Se a=0 e b=0 e c=0 e d≠0      
si ha una funzione costante (retta parallela all’asse x)
Se a=0 e b=0 e c=0 e d=0      
si ha   l’ asse x

Download  dello studio della cubica.

Ho utilizzato  Derive; il file è apribile in formato pdf.

Simmetria centrale

Nell’ articolo del blog  : . TRASFORMAZIONI LINEARI . : , era stata trattata la simmetria centrale.
SIMMETRIA CENTRALE DI CENTRO  C

Si chiama SIMMETRIA CENTRALE di centro C  quella corrispondenza biunivoca di punti del piano che, ad ogni punto P  del piano, associa  un punto P’ tale che il segmento PP’ abbia come centro C  ( cioè C è il punto medio di PP’ ).
Due punti simmetrici si dicono CORRISPONDENTI NELLA SIMMETRIA centrale.

Per trovare le leggi analitiche di una simmetria centrale  si utilizza la definizione:
assegnati due punti  P(x, y) e P'(x’,y’), tenendo conto che C(a,b) deve essere il punto medio di PP’ si ha:

x’ = 2a – x
y’ = 2b – y

Esempio:  I punti P( 7, 4) e  P'( 1,2 ) sono corrispondenti nella simmetria centrale di centro  C( 4, 3 ).
Infatti si ha 1 = 2·4 – 7 e 2 = 2·3 – 4

Vediamo, ora, come si dimostra che una funzione y=f(x) gode di simmetria centrale rispetto ad un punto.

Nel caso che P e P’ siano appartenenti ad una funzione y=f(x) si avrà:
P( x, f(x) ) e P’ (x’, f(x’) ).

Trasformando la relazione precedente
y’= 2b – y
otterremo 
f( x’ )= 2b – f(x)  e, sostituendo ad x’  l’espressione 2a -x, si ha
f( 2a – x )= 2b – f(x) 

da cui  

f(x) = 2b – f( 2a – x )

Tale verifica su f(x) ci permetterà di affermare che la funzione è simmetrica rispetto al punto C(a,b).

Riferimenti: : . LE SIMMETRIE ASSIALI . :  –  : . funzioni esponenziali e logaritmiche . :

Asintoti non lineari

Una funzione può essere asintotica, all’ ∞, non necessariamente ad una retta, ma anche ad un’altra funzione.

Consideriamo la funzione razionale fratta:
       x3 + 1
y = ———–
             x

Tale funzione può essere anche scritta così:

                       1
y =  x2   +  —-
                       x

La differenza tra la funzione e la parabola y =  x2  è    1/x  e,  per x tendente ad infinito, tale quantità  tende a zero.

Si ha allora un grafico di questo tipo:

Grafico Asintoto Parabolico

Ricerca di asintoti

 Data una funzione y = f (x) , si possono avere tre tipi di asintoti:

  • asintoto verticale: quando x tende ad un valore finito la funzione tende all’ infinito
    • in questo caso la retta è parallela all’asse y ed ha equazione x = c, dove c è il valore al quale tende x
      • si ha quindi asintoto verticale se:
        lim f(x) =
        x ->c
  • asintoto orizzontale: quando x tende ad infinito e la funzione tende ad un valore finito

    • in questo caso la retta è parallela all’asse x ed ha equazione y = k , dove c è il valore al quale tende x
      • si ha quindi asintoto orizzontale se:
        lim f(x) = k
        x ->∞

      • si ha quindi asintoto orizzontale se:
        lim f(x) = k
        x ->∞ 


     
  • asintoto obliquo: quando x tende ad infinito e la funzione tende ad  infinito "avvicinandosi" indefinitamente ad una retta di equazione y =mx + q
    • in questo caso la condizione necessaria per avere l’asintoto obliquo è lim f(x) = ∞
                                                                                                         
      x ->∞
    • si devono poi determinare gli eventuali  valori di m e q; per determinarli devono esistere ed essere finiti i seguenti limiti:

m = lim f(x)/ x      q = lim [ f(x) -mx]     entrambi per x tendente ad infinito
        

Gli asintoti

Asintoto  dal greco asymtotos
composto  da  a   negativo e dall’aggettivo verbale di   sympipto "io coincido".

Per una curva che si estende all’infinito, retta cui la curva data si avvicina quanto si vuole, allorchè un punto si allontana indefinitamente sulla curva | Tangente in un punto improprio.

da "IL NUOVO ZINGARELLI" – Vocabolario della Lingua Italiana

Esempio di funzione con discontinuità

Studiamo la funzione:          
             x 3 – x  
f(x) = ———
           2x 2 – 2

  • funzione razionale fratta con dominio D ={ x Î R / x ≠ ±1 }
  • la funzione può essere scritta:   
          x(x2– 1)                                     x
    y = ————    
    da cui si ottiene   y = —
          2(x2– 1)                                      
    2
  • Tale funzione rappresenta una retta che "subisce due interruzioni" in corrispondenza dei valori ±1.
  • I limiti, per x —>-1 e  per x —>+1, esistono e sono finiti, ma non esistono i valori f(-1) e f(1) poichè x=±1 non appartengono al dominio di f.  La funzione presenta quindi due discontinuità dello stesso tipo (eliminabili)
  • grafico:

funzione con due discontinuità eliminabili

Questo esempio è simile a quello dell’articolo Discontinuità di una funzione

Provare ora a studiare la funzione:

              1             2x 2 – 2
g(x) = ——  =  ———-  
            f(x)          x 3 – x

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