Quesito 7 degli esami 2006 del Liceo Scientifico

Teorema di Lagrange per la funzione 
         3     2
y = x  – 2x       nell’intervallo [0 , 1].

Ipotesi
  • Sia f una funzione reale definita in [a,b] 
  • continua in [a; b]
  • derivabile in ]a; b[

Tesi : esiste almeno un punto c appartenente ad  ]a; b[  tale che

             f(b)-f(a) 
f ‘ (c) = ———– 
                 b-a

Le ipotesi di continuità nell’intervallo chiuso e di derivabilità nell’aperto sono verificate.
Gli estremi dell’arco sono: (0, 0), (1, -1).
La derivata prima è:  y’ = 3x  – 4x
Si ha quindi:
        

 f(b)-f(a) 
———– = -1
    b-a
         
3x²  – 4x = -1
 
        1         
x = – —  ∨  x = 1
       3
Il valore 1 non è interno all’intervallo considerato, mentre 1/3 lo è; il punto P ha coordinate:        
 
 1            5
—– , – ——-
3            27
 
Equazione della retta passante per i punti estremi dell’arco: y = -x
Equazione della retta passante per il punto P e parallela alla retta passante per gli estremi dell’arco.
 
      5                1
y + — = – ( x – —- )
     27              3
Quesito 7 esami 2006
 

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