TRASFORMAZIONI LINEARI

Si chiama trasformazione lineare ogni corrispondenza biunivoca che trasforma rette in rette.

Le leggi generali sono:

 

 

      ⎡ u = a·x + b·y + p ⎤

#1:                     

      ⎣ v = c·x + d·y + q ⎦

 

 

DEF1:

In una trasformazione si chiama PUNTO UNITO o INVARIANTE un punto che è corrispondente di se stesso.

 

DEF2:

In una trasformazione si chiama retta unita o invariante una retta che è corrispondente di se stessa; in particolare si dice PUNTUALMENTE INVARIANTE se è anche invariante ogni suo punto; in caso contrario si dice GLOBALMENTE INVARIANTE.

 

SIMMETRIA CENTRALE DI CENTRO  C (©,ß)

 

Si chiama SIMMETRIA CENTRALE di centro C  quella corrispondenza biunivoca di punti del piano che ad ogni punto P  del piano associa  un punto P’ tale che il segmento PP’ abbia come centro C  ( cioè C è il punto medio di PP’ ).

 

Due punti simmetrici si dicono CORRISPONDENTI NELLA SIMMETRIA centrale.

 

Per trovare le leggi analitiche di una simmetria centrale  si utilizza la definizione:

assegnati due punti P(x, y) e P'(u,v), tenendo conto che C deve essere il punto medio di PP’ si ha:

 

 

       x + u      

      ⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = α ⎥

         2        

#2:               

       y + v      

      ⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = β ⎥

         2        

 

 

Ricavando dalle due equazioni le coordinate di  P’ si ha:

 

           ⎛⎡  x + u             

           ⎜⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = α ⎥        

           ⎜⎢    2               

#3:   SOLVE⎜⎢             ⎥, [u, v]⎟

           ⎜⎢  y + v             

           ⎜⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = β ⎥        

           ⎝⎣    2               

 

      ⎡ u = 2·α – x ⎤

#4:               

      ⎣ v = 2·β – y ⎦

 

 leggi di trasformazione dirette

 

           ⎛⎡ u = 2·α – x ⎤        

#5:   SOLVE⎜⎢             ⎥, [x, y]⎟

           ⎝⎣ v = 2·β – y ⎦        

 

      ⎡ x = 2·α – u ⎤

#6:               

      ⎣ y = 2·β – v ⎦

 

 leggi di trasformazione inverse

 

Con Derive si può anche creare una funzione che applica le  #4 e le #6

DICHIARA-DEFINISCI FUNZIONE-NOME-VARIABILI

 

#7:   SIMC(x, y, α, β) ≔ [2·α – x, 2·β – y]

 

#8:   SIMC1(u, v, α, β) ≔ [2·α – u, 2·β – v]

 

 

ESEMPIO:

Sia C (3,2) il centro di simmetria . Dato  P(1,-1)  trovare il suo simmetrico P’.

 

1° METODO

Dalle leggi #4, sostituendo i valori di © e ß, si ha:

 

 

      ⎡ u = 2·3 – x ⎤

#9:               

      ⎣ v = 2·2 – y ⎦

 

                                ⎡ u = 6 – x ⎤

#10:                                      

                                ⎣ v = 4 – y ⎦

 

Sostituendo a x e y le coordinate di P trovo, con il calcolo, le coordinate di P’

 

       u = 6 – 1 ⎤

#11:             

      ⎣ v = 4 – -1 ⎦

 

                                  ⎡ u = 5 ⎤

#12:                                    

                                  ⎣ v = 5 ⎦

 

Il punto P’ ha coordinate (5,5).

 

 

2° METODO

Si utilizzano le funzioni definite SIMC e SIMC1 in # 7 e #8.

 

 

#13:  SIMC(1, -1, 3, 2)

 

#14:                                [5, 5]

 

Facciamo ora il grafico.

Con Derive i punti, per essere congiunti nel grafico,devono essere inseriti in una matrice; in questo caso di 3 righe e 2 colonne.

 

      ⎡ 3   2 ⎤

            

#15:  ⎢ 1  -1 ⎥

            

      ⎣ 5   5 ⎦

 

 

PROPRIETA’ DELLE SIMMETRIE CENTRALI

 

1 – Ogni simmetria centrale scambia tra loro punti corrispondenti.

 

      dim:  Si dimosta sia geometricamente, che con le equazioni (scambiando le variabili).

 

2 – In una simmetria centrale di centro C:

a.  il centro è l’unico punto unito

b. ad ogni retta passante per C corrisponde se stessa, cioè è unita  ( globalmente invariante ).

   

3 – La simmetria di centro C

a. scambia ogni semiretta di origine C con la sua opposta

b. scambia tra loro tutti i semipiani opposti aventi come bordo le rette passanti per C.  

 

4 – In una simmetria centrale due rette corrispondenti sono parallele.

 

5 – TEOREMA

     Ogni simmetria centrale è una ISOMETRIA.

           

 

Corollario:    

· retta           ˜    retta

· semiretta    ˜    semiretta

 

· angolo       ˜  angolo isometrico

· triangolo    ˜     triangolo isometrico

 

· figura         ˜  figura isometrica

 

 

Dimostrazione 2a:  Il centro di simmetria è l’unico punto unito.

 

Applichiamo la trasformazione al punto C (©,ß)

 

      ⎡ u = 2·α – x ⎤

#16:              

      ⎣ v = 2·β – y ⎦

 

      ⎡ u = 2·α – α ⎤

#17:              

      ⎣ v = 2·β – β ⎦

 

                                  ⎡ u = α ⎤

#18:                                    

                                  ⎣ v = β ⎦

 

 

Dimostrazione 4:  In una simmetria centrale due rette corrispondenti sono parallele.

 

Consideriamo l’equazione di una retta  r   ax + by + c = 0 e le trasformazioni inverse; sostituiamo al posto di x e y della retta le leggi di trasformazione.

Otterremo l’equazione di una retta r’ con incognite u e v che avrà lo stesso coefficiente angolare di r: quindi le due rette saranno parallele.

 

#19:  a·x + b·y + c = 0

 

      ⎡ x = 2·α – u ⎤

#20:              

      ⎣ y = 2·β – v ⎦

 

#21:  a·(2·α – u) + b·(2·β – v) + c = 0

 

#22:  SOLVE(a·(2·α – u) + b·(2·β – v) + c = 0, [u, v, a, b])

 

#23:                  a·u + b·v – 2·a·α – 2·b·β – c = 0

 

 

Dimostrazione 2b:  Ogni retta passante per C è unita ( globalmente invariante ).

 

Abbiamo dimostrato nel punto precedente che la retta r viene trasformata in una sua parallela, supponiamo ora che la retta r passi per C.

Per l’appartenenza del punto C alla retta r si ha:

 

#24:  a·α + b·β + c = 0

 

#25:  SOLVE(a·α + b·β + c = 0, [c])

 

#26:                           c = – a·α – b·β

 

Sostituendo ora questa espressione di c (#26)  nella #23 otterremo l’equazione della retta in u e v con gli stessi coefficienti di r

( e quindi la stessa retta riportando poi le variabili in x e y ):

 

#27:  a·u + b·v – 2·a·α – 2·b·β – (- a·α – b·β) = 0

 

#28:  SOLVE(a·u + b·v – 2·a·α – 2·b·β – (- a·α – b·β) = 0, [u, v, α, β])

 

#29:                      a·u + b·v – a·α – b·β = 0

 

#30:  a·u + b·v + c = 0

 

#31:  a·x + b·y + c = 0

  

Dimostrazione 5:

Ogni simmetria centrale è una isometria

Si deve dimostrare che due qualsiasi segmenti AB e A’B’ che si corrispondono in una simmetria centrale di centro C sono isometrici.

Consideriamo A(a,b), B(c,d), A'(e,f), B'(g,h) e le leggi di simmetria centrale di centro © e ß (#4 o #7)e dimostriamo che la distanza AB è uguale alla distanza A’B’.

 

               2          2

#32:  √((c – a)  + (d – b) )

 

                        2            2            2    2

#33:                 √(a  – 2·a·c + b  – 2·b·d + c  + d )

 

               2          2

#34:  √((g – e)  + (h – f) )

 

      ⎡ u = 2·α – x ⎤

#35:              

      ⎣ v = 2·β – y ⎦

 

                               2                          2

#36:  √(((2·α – c) – (2·α – a))  + ((2·β – d) – (2·β – b)) )

 

                        2            2            2    2

#37:                 √(a  – 2·a·c + b  – 2·b·d + c  + d )

 

Come si vede la #33 e la #37 (cioè AB e A’B’) sono uguali.

                                                                                        q.e.d.

 

Facciamo ora il grafico di un segmento e del suo corrispondente in una simmetria centrale.

Consideriamo C(3,1), A(1,2), B(2,4) e A’, B’  i corripondenti nella ÞC che troveremo con le leggi di trasformazione, usando #7

 

#38:  SIMC(x, y, α, β) ≔ [2·α – x, 2·β – y]

 

#39:  SIMC(1, 2, 3, 1)

 

#40:                                [5, 0]

 

A’ ha coordinate (5,0)

 

#41:  SIMC(2, 4, 3, 1)

 

#42:                               [4, -2]

 

B’ ha coordinate (4,-2)

 

Inseriamo ora i punti (5 punti) in una matrice di 7 righe e due colonne per fare il grafico (si devono ripetere le coordinate dei punti da collegare: in questo caso C ed A)

 

      ⎡ 1   2 ⎤

            

      ⎢ 2   4 ⎥

            

      ⎢ 3   1 ⎥

            

#43:  ⎢ 5   0 ⎥

            

      ⎢ 4  -2 ⎥

            

      ⎢ 3   1 ⎥

            

      ⎣ 1   2 ⎦

 

 

Facciamo ora il grafico di una figura F e della sua corrispondente F’ in una simmetria centrale di centro C(3,2).

Diamo le coordinate dei vertici di F:

A(-4,2), B(-2,5), D(1,5), E(1,-3) e troviamo con SIMC(x,y,©,ß)  le coordinate dei punti A’,B’,D’,E’ e poi li mettiamo in matrice per fare il grafico collegando i punti.

 

#44:  SIMC(-4, 2, 3, 2)

 

#45:                               [10, 2]

 

#46:  SIMC(-2, 5, 3, 2)

 

#47:                               [8, -1]

 

#48:  SIMC(1, 5, 3, 2)

 

#49:                               [5, -1]

 

#50:  SIMC(1, -3, 3, 2)

 

#51:                                [5, 7]

 

      ⎡ -4   2 ⎤

             

      ⎢ -2   5 ⎥

             

#52:   1   5 ⎥

             

       1  -3 ⎥

             

      ⎣ -4   2 ⎦

 

      ⎡ 10   2 ⎤

             

       8  -1 ⎥

             

#53:   5  -1 ⎥

             

       5   7 ⎥

             

      ⎣ 10   2 ⎦

 

#54:  [[3, 2]]

 

      ⎡ -4  2 ⎤

            

#55:   3  2 ⎥

            

      ⎣ 10  2 ⎦

 

      ⎡ -2   5 ⎤

             

#56:   3   2 ⎥

             

       8  -1 ⎦

 

      ⎡ 1   5 ⎤

            

#57:  ⎢ 3   2 ⎥

            

      ⎣ 5  -1 ⎦

 

      ⎡ 1  -3 ⎤

            

#58:  ⎢ 3   2 ⎥

            

      ⎣ 5   7 ⎦

 

NOTA BENE: per scaricare il file completo sulle SIMMETRIE ASSIALI e CENTRALI vai qui: http://www.dokeos.com/campus/dokeos/CLa30b/work/4166ecf12896dTEORIAtgSA.rtf

http://www.dokeos.com/campus/dokeos/CLa30b/work/4166f6270f771TEORIAtgSC.rtf

 

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